你的任务是求出这 90 个数字的总和。它们大多数都是无理数，所以我不建议一个一个地求！

正如您所预料的，这里涉及一些技巧。我现在就把这些留给您自己决定吧！试一试吧，解决方案如下，后面还有一些额外的挑战。

当你看到正弦和余弦的平方时，你应该想到这个著名的恒等式：

最终我们会使用这个恒等式，但首先我们需要采取另一个步骤。如果我们可以将一些正弦转换为余弦，那么这个恒等式就会很有用。

我们确实可以做到这一点。这是正弦和余弦的图。

余弦图与正弦图相同，但偏移了 -90°。因此 sin( x ) = cos( x — 90)。余弦图是对称的，因此 cos( x ) = cos(- x )，因此 cos( x — 90) = cos(-( x — 90)) = cos(90 — x )。现在我们有了这个有用的恒等式：

我们可以将其应用于正弦和。快速提醒一下，sin²( x ) 表示 (sin( x ))²。

我们的新恒等式告诉我们 sin(89°) = cos(90°–89°) = cos(1°)。

我们可以用 cos(1°) 代替 sin(89°)，用 cos(2°) 代替 sin(88°)，以此类推，直到到达中间点。我将在求和中将正弦和余弦分组：

不要忘记剩下的 sin²(45°) 和 sin²(90°)。

现在回想一下之前的恒等式：sin²( x ) + cos²( x ) = 1。我们在总和中有 44 对这样的数，因此它变成：

现在只需找到 sin²(45°) 和 sin²(90°)。对于第一个，sin(45°) 是 sqrt(2)/2，求平方得到 1/2。对于第二个，sin(90°) 是 1，求平方得到 1。

问题就这样解决了。✅

让我们更进一步，看看我们能用微积分如何很好地近似它。我们需要使用弧度来求积分。为了解决这个问题，我们将最终结果乘以 180/ π。

答案是

正好是 1/2！这有点像上面的和是积分的上雷曼和。

挑战 1：使用第一个恒等式证明 sec²( x ) = 1 + tan²( x )。

挑战 2 ：求 sin²( x )的不定积分。