我很惊讶我以前从未尝试过这个。今天我尝试了。当然，我并没有止步于解决方案，但我稍后会深入讨论。

解决方案如下，后面是一些额外的探索和挑战。祝你好运！

上面的函数是x = y ²，所以y = sqrt( x )，但没有必要使用它。将区域分成两半，并关注底部切片：

该区域被y = x线一分为二。下半部分区域以y = x和y = x ² 在 [0, 1] 上为界。整个区域的面积是绿色区域的两倍。

由于曲线y = x ² 位于 [0, 1] 上的直线y = x下方，我们将找到如下绿色区域：

现在我们只需要做计算：

因此， x²与其倒数之间的整个区域的面积为 1/3。✅

答案非常简单明了。如果曲线是x ³ 和立方根而不是x ² 和平方根会怎样？

我想一石二鸟，解决y = xⁿ的问题。当n趋近于无穷大时会发生什么？

这个动画应该能让你很好地了解这个限制是什么：

对于 n ≥ 1

让我们来证明一下。回到计算积分。我们假设n ≥ 1。

另一个出乎意料的干净解决方案！对于n = 2，答案是 1/3，正如预期的那样。对于n = 100，有界区域是 99/101。

当n趋向于无穷大时，曲线变得更加尖锐，并且有界面积趋向于 1。

挑战 1 ：找到y = 2 x ² 及其逆之间的有界面积。

挑战 2 ：求f ( x ) = x ² + 3 x的反函数。