一个初等数论问题 若自然数abcde中，de十bc十a能被11整除。 求证：abcde能被11整除。 证明： 1，我们不妨先证眀引理1×10x…10的m次方中，若m是偶数被11整除的余数是1，若m是奇数被11整除的余数是10。 证明：当m是2时100÷11的余数是1，结论正确。当m＞2的偶数时我们不妨把1x10x10……x10x10分为10×10的m／2个组，从第一个组的100被以11后的余数是1，每一个前面组的余数1与后面组的00组成的100被11除的余数是1，只至最后一组的佘数是1。引理第一部分得证。 当m是1时10除以11的余数是10，当m是大于2的奇数时，我们可设n＝m一1则n是偶数，1x10m次方可改写成（1x10的n次方）x10的方式。 根据引理第一部分结论 1x10的n次方的余数是1， ∴1x10的m次方的余数是10。 引理证毕。 2，证明原命题 ∵根据引理ax10000被11整除的余数是a。商是k1 bx1000的余数是bx10，商是k2 Cx100的余数是C，商是k3 dx10的余数是d×10 e的余数是e， 设K＝k1十K2十K3 ∴abcde＝ax10000十bx1000十CX100十dx10十e＝11xK十（a十bx10十C十dx10十e） ＝11xk十（a十bC十de） 由题设a＋bc＋de能被11整除 ∴abcde也能被11整除 原命趞证毕。 推论：abcde从个位e开始向右数数，奇位数的和与偶位数旳和的差为0，则abcde可被11整除 即（b十d）一（a十c十e）＝0 需要指出的是这个推论不是充要条件，即差是0则abcde一定能被11整除， 但abcde能被11整除我还无法证明其差一定是0。