概率论、微积分以及其他的一些数学理论,让人类更加认识到,世界的发展是有规律可循的。
我们一起来看看牛顿以及和他同时代的其他一些科学家,在近代数学上取得的突破。近代数学与我们今天的生活息息相关,就拿概率论来举例吧。对我们个人而言,大到进行一场金融投资,需要利用概率来提前预估能获得的收益;小到跟朋友玩一个简单的转盘游戏,通过计算输赢的概率来看对彼此是否公平。这些都是概率论对我们生活的影响,而概率论最初是被法国数学家帕斯卡提出的,他和牛顿都生活在那个科学革命的年代。概率论、微积分以及其他的一些数学理论,让人类更加认识到,世界的发展是有规律可循的。
01
牛顿眼里的巨人笛卡尔
我们先来说一场数学史上的著名争端,这场争端发生在牛顿和德国数学家莱布尼茨之间。他们争论的主要内容是,微积分到底是二人之中的谁先发明的。他们之所以这么在意微积分的发明权,是因为微积分对于近代数学乃至近代科学的发展,都是不可或缺的工具。人们之所以把16-18世纪作为科学发展的分水岭,一个重要的原因是那时发展出了以微积分为标志的高等数学。
讲到微积分的发明,就必须先讲讲为此打下解析几何基础的笛卡尔。我们知道牛顿曾经说过一句著名的话,“我是站在巨人的肩上”,笛卡尔就是巨人中很重要的一员。
我是站在巨人的肩上
笛卡尔的父亲是法国一位地方议员,他的家庭在当时算是很富有、地位也比较高的,因此他从小受到了良好的教育。不过,笛卡尔身体不太好,在病床上度过了很多时光,而这让他养成了安静思考的习惯。笛卡尔在大学学的是法律,并且在年轻时游历了欧洲的很多地方,还在几个国家当过兵。因此,他学识广博,见识丰富。不过,他对数学有浓厚的兴趣。
据说在一次旅程中,他看到街上贴了一张数学题悬赏求解的布告,回去花了两天就把那道题解决了。这引起了当地数学家的注意。在游历并且当了一段时间兵之后,笛卡尔想安定下来了,于是他回到法国。但不巧此时又赶上法国内乱,于是他再次到荷兰、瑞士和意大利等国家旅行了四年。
此后,他在巴黎待了三年,后来又到当时民主思想和人文气息浓郁的荷兰定居,一住就是二十年。笛卡尔大部分的研究成果,都是在荷兰做出来的。
关于笛卡尔是什么时候发明解析几何的,他自己没有特别说明。据说他因为体弱多病,有一次躺在病床上无事可做,看到天花板上一只蜘蛛在爬。看着蜘蛛运动的轨迹,他想到了在一个方形的区域内用曲线形象地描述变量的变化过程,于是他发明了解析几何这个工具。
在笛卡尔之前,数学当中的代数学和几何学是两个没有交集的分支。笛卡尔发明了解析几何之后,人们终于可以用代数的方法,特别是解方程的方法,解决几何学的问题了。这个发明在当时并没有引起太多人注意,大家只是把它作为一个有趣的数学工具。
但是到了牛顿的年代,解析几何就变得非常重要了。数学家们所关心的事情,已经从寻找一个具体问题的答案,转到寻找各种变量之间的相互关系。而解析几何作为能够把各个变量关系,用可视的曲线表达出来的工具,就变得必不可少了。
02
微积分的争端
借助于笛卡尔的解析几何,牛顿发明了微积分。他当时发明微积分的主要目的,是为了解决力学中的各种问题,特别是动态描述和运动相关的物理问题。
在牛顿之前,人类虽然知道用速度这个概念描述物体运动的快慢,但是人类只能把握物体运动的平均速度,而无法动态地描述物体在任何一个时刻的瞬间运动,因为缺乏相应的数学工具。而微积分的发明解决了这个问题。
微积分的发明标志着人类从静止地、孤立地认识世界的变化,上升到能够动态地、连续地认识世界变化的规律。
可以说,微积分的发明标志着人类从静止地、孤立地认识世界的变化,上升到能够动态地、连续地认识世界变化的规律。
微积分的另一位发明人是德国的数学家莱布尼茨。莱布尼茨发明微积分的目的和牛顿不同,他更多地是从逻辑出发,寻找数学函数之间的规律。
在很长的历史时期里,英国人和德国人就微积分的发明权争吵不休。这主要是因为牛顿和他的同事们认为,莱布尼茨剽窃了他们的成果。这件事的曲直对错很难评判清楚,今天一般认为,他们各自在同一时间发明了微积分这个重要的数学工具。后来,法国和德国的数学家们,进一步完善了微积分这个工具。
微积分出现的意义,不仅仅在于有了一种新的数学工具,更在于让人们对于世界本质的认识有了一次巨大的提升。有了微积分之后,人们开始用动态的、变化的眼光看待世界,而且找到了自然界很多物理量之间的联系。
在有了微积分之后,人们的关注焦点不再是一个个静态的问题,而是世界变化的规律了。
比如我们今天知道距离、速度和加速度这三个物理量,那他们之间是什么关系呢?我们在中学物理课中,被告知距离等于速度乘以时间,其实这种解释并不够严谨。因为它首先假定了一个很难满足的前提,那就是运动过程中的速度是固定不变的。
如果按照这种很粗糙的公式理解速度和距离的关系,是无法制造出精密的机械的。而利用微积分的理论,就能更准确、严谨地解释和分析距离、速度和加速度这三者之间的关系。在有了微积分之后,人们的关注焦点不再是一个个静态的问题,而是世界变化的规律了。
03
概率论
在17-18世纪,数学家们建立起来的另一个重要的数学分支——概率论。最初研究概率的多的钱。
早期概率论是由法国数学家帕斯卡提出的,他的一些赌徒朋友希望他帮助解决一个掷骰子的赌博问题。当时法国人流行一种赌博方法,由庄家掷4次骰子,如果其中有一次出现六点的点数,那么庄家赢,否则就是玩家赢。
一般人的第一感觉是,这个玩法玩家的赢面更大,庄家每次掷出一个六点的可能性似乎只有1/6,非常低。不过真玩起来,结果却是庄家赢面更大。帕斯卡经过计算,发现庄家获胜的概率是52%,超过玩家48%的获胜概率。这件事通常被认为是数学家们研究概率的开始。随后,在帕斯卡、伯努利、拉普拉斯和泊松等数学家的努力下,构建起了古典的概率论。
概率论的提出让人们对世界的规律又有了进一步的认识。在此之前,人们认为世界上的事物要么是完全确定的,要么就是完全随机、无规律可行的。
但是,在对概率有了了解之后,人们才意识到即使一些随机性的事件,它们的发生也是有规律可循的。到了19世纪之后,人们普遍接受随机性是自然界固有的特性之一。正是在对随机事件认识的基础之上,才有了后来量子力学等学科的出现和发展。
需要指出的是,牛顿伟大的发现,有着历史的必然性。很多人在讲述科学发明的故事时,总爱强调灵感和头脑的重要性,其实很多发明和发现都是历史发展水到渠成的结果。
以万有引力定律的发现为例,今天大家都喜欢谈论从树上落下的苹果给牛顿所带来的灵感,但这个传奇的说法很有可能是法国思想家伏尔泰杜撰出来的。实际上,牛顿发现万有引力定律是一个很长的过程,并非是灵机一动就想出来了。
更重要的是,与牛顿同时代的很多科学家,包括胡克(Robert Hooke,1635 —1703)、哈雷(Edmond Halley,1656 — 1742)和波义耳(Robert Boyle,1627 — 1691)等人,在同时期,都注意到了行星围绕太阳运动需要一种向心力,只是这些人没有能力完成理论的建立。牛顿显然比他们高明一些,不过,即使没有牛顿,可能用不了多久,也会有另一个科学家发现万有引力定律。
04
结论
首先,这让人类在神的面前站了起来。牛顿以及同时代的科学家,通过他们伟大的发现告诉人们,世界上事物的运动变化,都是有规律可循的,人们不再习惯于把自己搞不懂的事情归结于上帝。
其次,这给人类提供了很多新的科学工具,同时创造出了很多新的科学知识。高等数学,经典物理学等等成就,在100年后开启了工业革命的大门。
最后,牛顿等人通过自己卓越的成就,让科学家这个群体得到了社会普遍的尊重。从17世纪开始,科学研究成为了欧洲,特别是新教国家上层阶级当中的一种风尚,这反过来极大地促进了科学的发展。
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